lunes, 7 de abril de 2014

Suma de los primeros n impares

"La suma de los n primeros números impares es el cuadrado de n"

Desde la esquina superior izquierda del cuadrado se puede apreciar, en diferentes colores, la siguiente suma de los primeros 11 números impares.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

Esa suma es igual al cuadrado de 6

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 62
Esta propiedad es válida para todo número natural n.
 n
 Σ   (2i - 1) = n2
i=1

Lo que queda demostrado por inducción completa en el siguiente teorema.
1) Como  2.1 - 1 = 1    y    12 = 1                  la propiedad se cumple para n = 1.
2) Aceptemos como hipótesis inductiva que:
 h
 Σ  (2i - 1) = h2
i=1
Sumando miembro a miembro el impar siguiente   2(h+1) - 1
 h
Σ  (2i - 1) + [2(h + 1) - 1] = h2 + [2(h + 1) - 1]
i=1
Resulta:
h+1
 Σ    (2i - 1) = h2 + [(2h + 2) - 1]
 i=1
Resolviendo en el segundo miembro:
h+1
 Σ    (2i - 1) = h2 + 2h + 2 - 1
 i=1
h+1
 Σ    (2i - 1) = h2 + 2h + 1
i  = 1
h+1
 Σ    (2i - 1) = (h + 1)2
i =1

Con lo cual queda demostrado que "La suma de los n primeros números impares es el cuadrado de n".







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