jueves, 3 de abril de 2014

Definiciones matemáticas


La distancia entre dos puntos es el segmento que tiene por extremos esos puntos.

El querido y recordado Profesor César Trejo lo explica en su libro Matemática Elemental Moderna, publicado por EUDEBA en 1968 hace casi 50 años… ¡Así de duraderas son las construcciones científicas! Pero volvamos a las definiciones.
En los axiomas y teoremas de la Matemática entran los conceptos sobre los que versan. La introducción de esos conceptos se hace siguiendo distintos tipos de conceptuación, a saber:
  1. las definiciones nominales explícitas;
  2. las definiciones axiomáticas;
  3. las definiciones por abstracción;
  4. las definiciones por recurrencia.
En este artículo nos abocaremos solo a las primeras.
Una definición nominal explícita es una convención lingüística mediante la cual se designa por una palabra nueva, o una frase nueva, o un símbolo nuevo, una combinación lógica de conceptos ya conocidos (primitivos, o bien ya definidos anteriormente).

Usemos como ejemplo la distancia entre dos puntos. Estos son dos puntos.

Llamaremos distancia entre dos puntos al segmento que tiene por extremos esos puntos.


En esta definición explícita
·         la frase nueva es “distancia entre dos puntos”,
·         los conceptos ya conocidos son
o   “punto”, que es un término primitivo y
o   “segmento” que fue definido anteriormente en el orden que tiene la matemática de desarrollarse.
Consecuencia
Una definición matemática, en el ejemplo una definición explícita, no es una mera descripción de lo que se propone definir. Dice claramente las condiciones
  • que tiene que cumplir algo para ser “distancia entre dos puntos”,
  • y solamente esas condiciones.
Técnicamente, en términos de Lógica Matemática (también llamada Lógica Simbólica), cada definición explícita es una doble implicación. En el ejemplo:
  • Es decir, algo es distancia entre dos puntos si, y solo si, es el segmento que tiene por extremos esos dos puntos.
  • Dicho de otro modo, le pondremos el nombre de “distancia entre dos puntos” a “el segmento cuyos extremos son esos dos puntos”. Y a ninguna otra cosa.
  • Otra forma de decirlo es: un segmento es la distancia entre sus extremos.
  • Otra más: un segmento y la distancia entre sus extremos es lo mismo.
  • La última (por ahora): ser distancia entre dos puntos es equivalente a ser un segmento cuyos extremos son esos dos puntos.
La definición de la doble implicación viene dada por su tabla de verdad. La tabla de verdad es su definición.
Estas cuestiones de la Filosofía de la Matemática son muy valiosas para los docentes. Recomiendo vivamente a los que no tuvieron la oportunidad de conocerlas en su formación, que lo hagan ahora porque les puede proporcionar seguridad en su trabajo de aula. Y hasta libertad.









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